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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

分类:唯美句子浏览量:9发布于:2天前 作者:句子迷

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《鼎尖教案》数学九年级上册(人教版)

第二十一章 一元二次方程

21.2 解一元二次方程

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(案例一)

课件制作:**_*学校 吕 婷

情境引入

一元二次方程的的根与系数的关系,常常也称作韦达定理,这是因为这个定理是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的.聪明的同学们,你能发现这个定理吗?

自主探究

1.思考:

从因式分解法可知,方程(x-x1)(x-x2)=0的两根为x1和x2,将方程化为x2+px+q=0的形式,你能看出x1, x2与p,q之间的关系吗?

二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系:

x1+x2=-p,

x1x2=q.

(p为一次项系数,q为常数项)

自主探究

2. 探究

一般地,一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a≠0)中,

二次项系数a未必是1,它的两根的和、积与系数分别

有怎样的关系?

(1)试一试.

由2x2-3x+1=0,得x1= ,x2= ,

于是x1+x2= = , x1x2= .

这说明了什么?

(2)对于一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)又有怎样

的关系呢?

结论:方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下

关系:

自主探究

  例4 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根 x1,x2 的和与积:   

(1) x 2 - 6x - 15 = 0

  (2)3x 2 + 7x - 9 = 0

  (3)5x - 1 = 4x 2

x1 + x2 = 6

x1 x2 = -15

x1 x2 = -3

自主探究

3.典型例题

 练习1 不解方程,求下列方程两个根的和与积:

  

(1) x 2 - 3x = 15

  (2) 3x 2 + 2 = 1- 4x

  

x1 + x2 = 3

x1 x2 = -15

巩固练习

4.巩固练习

练习2 小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程时,由于粗心,在化简时小明写错了常数项,解得两根为8和2,小红写错了一次项系数,解得两根为-9和-1,若二次项系数是1,你知道原来的方程是什么吗?

巩固练习

巩固练习

练习3 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2的值等于________.

练习4 设a,b是一元二次方程x2+x-2016=0的两个不相等的实数根,则a2+2a+b=________.

-2

2015

巩固练习

练习5 已知x=4是一元二次方程x2-3x+c=0的一个根,则另一个根为________.

练习6 方程x2+2kx+k2-2k+1=0的两个实数根x1,x2满足x12+x22=4,则k的值为________.

x=-1

1

巩固练习

练习7 已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-4=0的两个根,试求下列代数式的值:

(2)(x1+1)(x2+1);

(3) x1-x2.

(1) x12+x22;

巩固练习

练习8 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.

(1)求m的取值范围;

(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求m的值.

m=-3

巩固练习

练习9 已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2-2=0.试根据下列条件,求m的值.

(1)两根互为相反数;

(2)两根之和等于3;

(3)两根之积等于1;

(4)两根的平方和等于8;

(5)两根的和的相反数等于两根之积.

m=-1

m=0

m=0

巩固练习

练习10 已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0.

(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;

(2)设这个方程的两个实数根分别为x1,x2,且|x1|=|x2|-2,求m的值及方程的根.

巩固练习

练习11 如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2-m=3,n2-n=3,那么代数式2n2-mn+2m+2015=________.

2026

练习12 若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0

(0<m≤32)的两根,则矩形的周长为________.

16

巩固练习

练习13 已知一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.

(1)若该方程有两个实数根,求m的取值范围;

(2)设该方程的两个实数根分别为x1,x2,且

|x1-x2|=1,求m的值.

m>0

m=8

师生小结

(1)通过本节课的学习,你有哪些收获?

(2)你还有什么疑惑?说给大家听听.

作业布置

必做题:教材第17页第7题.

选做题:若某一元二次方程的两个根是5,-2,你能求出这个方程吗?

谢谢 !

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